クレジットカードを紛失し、カードを利用されてしまった人の件で相談です。

私が本人ではないのですが、カード紛失に気付き、紛失の連絡をカード会社に入れた時にはすでにカードを利用されていたそうです。
紛失の手続きの書類が自宅に届いたものを放置してしまったらしく、また警察に被害届も出していないようですが、その後カード会社に連絡をしたところ、自分でその返済してくださいと言われ、現在も返済しているそうですが、自分でその処理を怠ったことによる返済の義務はありますか？
または、今からでも返済しなくてもよい方法はないものでしょうか？