他界した父の借金のどこまで私が払うべきでしょうか?

原則、支払う必要があると思われます。

家業を継いで飲食店を貴殿が経営していく、ということであれば、店名義の借金は、店が引継ぎ、貴殿が支払う義務があると思われます。店以外のお父様の借金については、相続放棄をする方法がありますが、相続放棄した場合、すべての財産を放棄しなければならないので、店を継いだ場合は、難しいでしょう。あとは限定承認という、財産の範囲内で借金の負担を相続する方法もあります。家業を引き継いでいるという点で難しい点があると思いますので、弁護士等に面談して詳しく話をし、相談を受けることをお勧めします。

回答

相続する以上家も債務もすべて承継します。但し債務は相続分に応じて法定相続の割合で負担することになります。相続放棄すれば債務を継承することはないですが、そうなると父名義の不動産も承継取得できないことになります。

相続放棄をしない限り、相続分に応じた支払義務が承継されます。
相続放棄は、相続開始から一定期間の間にする必要があります。
保証債務については相続放棄しても支払義務は残ります。

「お店名義」というのが実質的にお父様の借入に基づくものであれば、それもお父様の債務であると思われます。
この場合、債務も財産として相続の対象となりますので、あなたは相続分に応じた債務を負うことになります。したがって、相続放棄をしない場合は支払い義務は負うことになりますが、相続分を限度に支払えば足ります。

一方、あなたが相続放棄をすれば、お父様のみが負う債務についてはこれを支払う必要はなくなりますが、以下の点に注意する必要があります。
1　まず生前からあなたが保証人となっている債務については、支払い義務を免れることは出来ません。
2　相続放棄は原則として、相続開始を知ったときから3カ月以内に家庭裁判所へ申述する必要があります。
　　それを超えてしまうと、相続放棄が出来なくなる可能性が高いです。
3　財産調査の必要がある場合は、家庭裁判所に相続放棄が出来る期間を延ばしてもらうように申し立てることも出来ます。

なお、あなたは家業の飲食店を引き継いだとありますが、これが賃借店舗の移転を伴うのであれば問題ないと思いますが、お父様の所有物の承継を伴う場合には相続放棄が出来ない場合もあります。

相続放棄をしない限り法定相続分に応じて借金も相続することになります。

　相続財産には不動産、預貯金等のプラスの財産の他に借金等のマイナスの財産もあり、いずれも相続の対象になります。借金については、相続放棄をしない限り、相続人間で法定相続分に応じて分割承継することになります。なお、お店名義の借金があるとのことですが、そのお店が法人化していない場合には、店の借金は経営者である個人(父)の負債となりますので、これについても相続人が支払義務を負うことになります。